5 仿真中的统计模型

在对现实世界现象建模时，很少有情形能够完全预测所研究系统中实体的行为。建模者所看到的世界是概率性的，而不是确定性的。变异的来源有很多。修理人员修复一台故障机器所需的时间，取决于故障的复杂程度、修理人员是否带了合适的替换零件和工具到现场、修理过程中是否有另一位修理人员请求协助、机器操作员是否接受了预防性维护的培训，等等。对建模者而言，这些变异似乎是由偶然因素造成的，无法预测。然而，某个统计模型很可能恰当地描述完成一次修理所需的时间。

通过抽样调查所关注的现象，可以建立适当的模型。随后，建模者凭经验作出合理猜测（或使用专门的软件），选择一个已知的分布形式，对该分布的参数作出估计，再检验所获得的拟合效果究竟如何。通过在选择合适分布形式上的持续努力，所假设的模型可以被接受。

第 1 节回顾概率术语与概念。第 2 节给出统计模型（即分布形式）的一些典型应用。第 3 节和第 4 节讨论若干选定的离散分布和连续分布。所选定的分布是那些能够描述多种多样概率事件的分布。关于本章出现的分布形式，以及提及但未作描述的分布形式，可参阅许多文献 [Devore, 1999; Hines and Montgomery, 1990; Law and Kelton, 2000; Papoulis, 1990; Ross, 2002; Walpole and Myers, 2002]。第 5 节描述泊松过程及其与指数分布的关系。第 6 节讨论经验分布。

1 术语与概念回顾

1.1 离散随机变量

设 X 为随机变量。如果 X 的可能取值个数是有限的，或为可数无穷的，则称 X 为离散随机变量。X 的可能取值可以列为 $x_{1} , x_{2} , \ldots$。在有限的情形下，该列表是有终止的；在可数无穷的情形下，该列表无限延续。

例 1

观测某作业车间每周到达的作业数。所关注的随机变量是 X，其中

X 的可能取值由 X 的值域给出，记作 $R_{X}$。此处 $R_{X} = \{0 , 1 , 2 , \dots \} .$ 设 X 为离散随机变量。对于 $R_{X}$ 中的每一个可能结果 $x_{i}$，数值 $p ( x_{i} ) = P ( X \ = \ x_{i} )$ 给出该随机变量等于 x 的取值的概率。数值 $p ( x_{i} ) , i = 1 , 2 , . . . ,$ 必须满足以下两个条件：

a. $p ( x_{i} ) \geq 0$，对所有 i

b. $\sum_{i = 1} ^ {\infty} p (x_{i}) = 1$

数对 $( x_{i} , p ( x_{i} ) ) , i = 1 , 2 , . . .$ 的集合称为 X 的概率分布（probability distribution），而 $p ( x_{i} )$ 称为 X 的概率质量函数（pmf）。

例 2

考虑掷一颗骰子的试验。定义 X 为骰子掷出后朝上那一面上的点数。于是 $R_{X} = \{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \}$。假定这颗骰子是灌铅的，即某个面朝上的概率与该面所示的点数成正比。这一随机试验的离散概率分布如下

前面所陈述的条件得到了满足——也就是说，对 $i = 1 , 2 , \dots , 6$ 有 $p ( x_{i} ) \geq 0$，并且 $\textstyle \sum_{i = 1} ^ {\infty} p ( x_{i} ) = 1 / 21 + \cdot \cdot \cdot + 6 / 21 = 1$。该分布的图形表示见图 1。

图 1 灌铅骰子示例的概率质量函数。

1.2 连续随机变量

如果随机变量 X 的值域 $R_{X}$ 是一个区间或若干区间的集合，则称 X 为连续随机变量。对于连续随机变量 X，X 落在区间 [a, b] 内的概率由下式给出

函数 $f ( x )$ 称为随机变量 X 的概率密度函数（pdf）。该 pdf 满足以下条件：

a. 对 $R_{X}$ 中的所有 x，$f ( x ) \geq 0$

b. $\textstyle \int _ {R_{X}} f ( x ) d x = 1$

c. 若 x 不在 $R_{X}$ 中，则 $f ( x ) = 0$

由式 (1) 可知，对于任何给定的值 $x_{0} , P ( X = x_{0} ) = 0$，因为

图 2 $P ( a < X < b )$ 的图解解释。

$P ( X = x_{0} ) = 0$ 还意味着下列等式成立：

式 (1) 的图解解释见图 2。阴影部分表示 X 落在区间 [a, b] 内的概率。

例 3

某台用于检查飞机机翼裂纹的设备，其寿命由 X 给出，X 是一个连续随机变量，取遍 $x \geq 0$ 范围内的所有值。该设备寿命（以年为单位）的 pdf 如下：

该 pdf 的图形表示见图 3。称随机变量 X 服从均值为 2 年的指数分布。

设备寿命在 2 年到 3 年之间的概率计算如下

图 3 检测设备寿命的 pdf。

1.3 累积分布函数

累积分布函数（cdf）记作 $F ( x )$，它度量随机变量 X 取值小于或等于 x 的概率，即 $F ( x ) = P ( X \leq x )$。

如果 X 是离散的，则

如果 X 是连续的，则

cdf 具有以下一些性质：

a. F 是非减函数。如果 $a < b$，则 $F ( a ) \leq F ( b )$。

b. $\lim _ {x \longrightarrow \infty} F ( x ) = 1$

c. $\lim _ {x \longrightarrow - \infty} F ( x ) = 0$

关于 X 的所有概率问题都可以用 cdf 来回答。例如，

对于连续分布，不仅式 (5) 成立，而且式 (2) 中的各概率也都等于 $F ( b ) - F ( a )$。

例 4

例 2 中所描述的掷骰子试验，其 cdf 如下：

其中 [a, $b ) = \{a \leq x < b \}$。本例的 cdf 图形表示见图 4。

如果 X 是离散随机变量，其可能取值为 $x_{1} , x_{2} , \dotsc ,$，其中 $x_{1} < x_{2} < . . . .$，则 cdf 是一个阶梯函数。cdf 的值在区间 $[ x_{i - 1} , x_{i} )$ 上保持常数，然后在 $x_{i}$ 处跳变一步，跃度大小为 $p ( x_{i} )$。因此，在例 4 中，$p ( 3 ) = 3 / 21$，即 $x = 3$ 处台阶的高度。

图 4 灌铅骰子示例的 cdf。

例 5

例 3 中所描述设备的 cdf 为

设备寿命短于 2 年的概率为

设备寿命在 2 年到 3 年之间的概率计算如下

与例 3 中所得结果相同。

1.4 期望

概率论中的一个重要概念是随机变量的期望。若 X 是随机变量，记作 $E ( X )$ 的 X 的期望值，对离散变量和连续变量分别定义如下：

以及

随机变量 X 的期望值 E(X) 也称为均值（mean）$\mu .$，或者称为 X 的一阶矩。量 $E ( X^{n} ) , n \geq 1$ 称为 X 的 n 阶矩，计算如下：

以及

记作 V(X) 或 var(X) 或 $\sigma^{2}$ 的随机变量 X 的方差定义为

计算 V(X) 时一个有用的恒等式为

均值 $E ( X )$ 是随机变量集中趋势的度量。X 的方差度量的是随机变量与其均值之差的平方的期望值。因此，方差 $V ( X )$ 是 X 的可能取值围绕均值 $E ( X )$ 的离散程度或变异程度的度量。标准差 σ 定义为方差 $\sigma^{2}$ 的平方根。均值 $E ( X )$ 与标准差 $\sigma = \sqrt {V ( X )}$ 采用相同的单位表示。

例 6

例 2 中所描述的掷骰子试验，其均值和方差计算如下：

要用式 (10) 计算 $V ( X )$，先按式 (8) 计算 $E ( X^{2} )$：

因此，

以及

例 7

例 3 中所描述设备的寿命，其均值和方差计算如下：

要用式 (10) 计算 $V ( X )$，先按式 (9) 计算 $E ( X^{2} )$：

因此，

从而

以及

平均寿命为 2 年、标准差为 2 年，大多数分析人员会得出结论：实际寿命 X 具有相当大的变异性。

1.5 众数

众数用于描述本章中出现的若干统计模型。在离散情形下，众数是出现最频繁的随机变量取值。在连续情形下，众数是 pdf 取最大值的那个取值。众数可能不唯一；如果众数取值出现在随机变量的两个取值上，则称该分布是双峰的（bimodal）。

2 常用统计模型

在仿真的实施过程中会出现许多这样的情形：研究人员可能选择引入概率性事件。在排队系统中，到达间隔时间和服务时间常常是概率性的。在库存模型中，需求之间的间隔时间以及提前期（从下单到收到货物之间的时间）都可能是概率性的。在可靠性模型中，故障时间也可能是概率性的。在上述每一种情形下，仿真分析人员都希望生成随机事件，并且如果能够找到潜在的分布，就使用一个已知的统计模型。在下面几段中，将讨论适合这些应用领域的统计模型。此外，还将提及在数据有限的情形下有用的统计模型。

2.1 排队系统

在排队示例中，到达间隔时间模式和服务时间模式，即到达之间的时间和服务时间，常常是概率性的。不过，也可能有恒定的到达间隔时间（例如汽车装配线上以恒定速度移动的生产线），或者恒定的服务时间（例如同一条装配线上的机器人点焊）。下面的例子说明概率性的到达间隔时间可能如何产生。

例 8

如表 1 所示，机械师陆续到达一个集中的工具室。工具室的管理员为机械师办理所请求工具的领用与归还。数据采集从上午 10:00 开始，直到记录到 20 个不同的到达间隔时间为止。与其记录每日的实际时刻，也可以从某个给定的原点计算绝对时间。于是，第一位机械师可能在时刻 $0 ,$ 到达，第二位在时刻 7:13（7 分 13 秒）到达，依此类推。

表 1 机械师的到达数据

例 9

呈现到达间隔数据的另一种方式，是求出每个时段内的到达数。这里，此类到达发生在大约 1.5 小时之内；把前 20 位机械师按 10 分钟的时间间隔来考察是方便的。也就是说，在第一个 10 分钟时段内有 1 次到达，发生在 10:05::03。在第二个时段内有 2 位机械师到达，依此类推。结果汇总于表 2。这批数据随后可以绘制成直方图，如图 5 所示。

表 2 各连续时段内的到达数

到达之间时间的分布，以及每个时段内到达数的分布，在排队线系统的仿真中都是重要的。“到达"有多种多样的形式：机器故障、进入作业车间的作业、装配线上组装的单元、发往仓库的订单、到达计算机系统的数据包、打到呼叫中心的电话，等等。

服务时间可以是恒定的，也可以是概率性的。如果服务时间完全随机，为仿真目的通常采用指数分布；不过还存在若干其他可能。服务时间也可能是恒定的，但某种随机波动会以正向或负向的方式引起起伏。例如，车床走完一根 10 厘米轴所需的时间本应总是相同的。然而，材料的硬度可能略有差异，刀具也可能磨损；这两种情况中的任何一种都可能导致不同的加工时间。在这些情况下，正态分布也许能描述服务时间。

当所关注的现象似乎服从正态概率分布、但随机变量却被限制为大于或小于某个特定值时，会出现一种特殊情形。在这种情形下，可以采用截断正态分布。

伽马分布和 Weibull 分布也被用于对到达间隔时间和服务时间建模。（实际上，指数分布是伽马分布和 Weibull 分布二者的特例。）指数分布、伽马分布和 Weibull 分布之间的差别，涉及 pdf 众数的位置，以及它们在时间很大和很小时尾部的形状。指数分布的众数位于原点，而伽马分布和 Weibull 分布的众数位于某一点 $( \geq 0 )$，该点由所选的参数值决定。伽马分布的尾部与指数分布一样长；Weibull 分布的尾部可能比指数分布的尾部下降得更快，也可能更慢。在实践中这意味着：如果实际出现的大服务时间比指数分布所能解释的要多，那么 Weibull 分布可能为这些服务时间提供更好的模型。

图 5 各时段到达数的直方图（横轴：10 分钟时段内的到达数）。

2.2 库存与供应链系统

在现实的库存和供应链系统中，至少存在三个随机变量：(1) 每笔订单或每个时段的需求件数，(2) 两次需求之间的间隔时间，(3) 提前期。（提前期定义为：为补充库存系统而下达订单的时刻与收到该订单的时刻之间的时间。）在非常简单的库存系统数学模型中，需求随时间保持恒定，而提前期为 0 或某个常数。然而，在大多数现实情形中，因而也在仿真模型中，需求在时间上是随机发生的，而且每次需求发生时的需求件数也是随机的，如图 6 所示。

库存理论教材中关于需求和提前期的分布假设，通常是基于数学上的可处理性，但在现实背景下这些假设可能并不成立。在实践中，提前期分布往往可以由伽马分布较好地拟合 [Hadley and Whitin, 1963]。与解析模型不同，仿真模型可以容纳任何看起来最合理的假设。

几何分布、泊松分布和负二项分布提供了能够满足各种需求模式的多种分布形状。几何分布是负二项分布的一个特例，在至少发生过一次需求的前提下，其众数位于 1。如果需求数据以长尾为特征，负二项分布可能是合适的。泊松分布常用于对需求建模，因为它简单、有详尽的表格数据、而且人们非常熟悉。泊松分布的尾部一般比负二项分布的尾部短，这意味着在两种模型具有相同平均需求的前提下，采用泊松模型时出现的大额需求要比采用负二项分布时少。

图 6 随机需求随时间的变化。

2.3 可靠性与可维护性

故障时间已用许多分布来建模，包括指数分布、伽马分布和 Weibull 分布。如果只发生随机故障，故障时间分布可以建模为指数分布。伽马分布源于对备用冗余的建模，其中每个部件的故障时间都服从指数分布。Weibull 分布被广泛用于表示故障时间，其性质使得它可以被调整以逼近许多观察到的现象 [Hines and Montgomery, 1990]。当一个系统中有若干部件，而故障是由于大量缺陷（或潜在缺陷）中最严重的一个所引起时，Weibull 分布似乎特别适合作为模型。在大多数故障源于磨损的情形下，正态分布也许非常合适 [Hines and Montgomery, 1990]。对数正态分布已被发现适用于描述某些类型部件的故障时间。

2.4 数据有限的情形

在许多实例中，仿真在数据收集完成之前就开始了。有三个分布适用于不完整或有限的数据，它们是均匀分布、三角分布和贝塔分布。当已知某个到达间隔时间或服务时间是随机的，但暂时无法获得关于该分布的任何信息时，可以采用均匀分布 [Gordon, 1975]。不过，也有人不赞成使用均匀分布，称它为"最大无知之分布”，因为除了随机变量可能出现的那段连续区间之外，不必再指定任何别的东西。当对随机变量的最小值、最大值和众数作出假设时，可以采用三角分布。最后，贝塔分布在单位区间上提供了多种分布形式，只需适当修改即可将其平移到任意所需的区间。均匀分布是贝塔分布的一个特例。Pegden、Shannon 和 Sadowski [1995] 对有限数据这一主题有较为详细的讨论。

2.5 其他分布

其他若干分布在离散系统仿真中可能是有用的。伯努利分布和二项分布是两种可以描述所关注现象的离散分布。超指数分布与指数分布相似，但它更大的变异性在某些场合可能使之有用。

3 离散分布

离散随机变量用于描述只可能取整数值的随机现象。第 2 节给出了大量例子——例如对库存物品的需求。以下各小节描述四个分布。

3.1 伯努利试验与伯努利分布

考虑一个由 n 次试验构成的试验，每次试验的结果非成功即失败。若第 j 次试验的结果为成功，则令 $X_{j} = 1$；若第 j 次试验的结果为失败，则令 $X_{j} = 0$。

如果各次试验相互独立、每次试验只有两种可能结果（成功或失败），且成功的概率在试验之间保持不变，则称这 n 次伯努利试验构成一个伯努利过程。于是，

并且

对于单次试验，式 (11) 给出的分布称为伯努利分布。$X_{j}$ 的均值和方差计算如下：

以及

3.2 二项分布

表示 n 次伯努利试验中成功次数的随机变量 X 服从二项分布，其概率质量函数为 $p ( x )$，其中

式 (12) 的由来，是通过计算某一种特定结果出现的概率而得到的，即所有成功（各记作 S）出现在前 x 次试验中，随后是 $n - x$ 次失败（各记作 F）——也就是说，

其中 $q = 1 - p$。具有所需数目 $S$ 和 $F$ 的结果共有

种。于是便得到式 (12)。计算二项分布均值和方差的一种简便方法，是把 X 看作 n 个相互独立、各自均值为 $p$、方差为 $p ( 1 - p ) = p q$ 的伯努利随机变量之和。于是，

均值 E(X) 为

方差 V(X) 为

例 10

某生产工艺平均制造出 $2 \%$ 的不合格计算机芯片。每天从该生产过程中随机抽取一个容量为 50 的样本。如果样本中含有两片以上不合格芯片，该工艺将被停机。计算由该抽样方案导致工艺停机的概率。

把抽样过程看作 $n = 50$ 次伯努利试验，每次的 $p = 0.02$；则样本中不合格芯片的总数 X 服从二项分布，其概率质量函数为

计算样本中发现两片以上不合格芯片的概率，用下面这个恒等式要容易得多：

概率 $P ( X \leq 2 )$ 计算如下

因此，根据抽样过程，该生产工艺在任意一天停机的概率约为 0.08。容量为 50 的随机样本中不合格芯片数的均值为

方差为

二项分布的 cdf 已由 Banks 和 Heikes [1984] 等人制成了表格。这些表格能大大减少计算诸如 $P ( a < X \leq b )$ 之类概率所需的工作。在对 n 和 $p$ 有一定限制的条件下，泊松分布和正态分布都可用于逼近二项分布 [Hines and Montgomery, 1990]。

3.3 几何分布与负二项分布

几何分布与一串伯努利试验有关；所关注的随机变量 X 定义为取得第一次成功所需的试验次数。X 的分布为

事件 $\{X = x \}$ 发生在先有 $x - 1$ 次失败、随后出现一次成功的时候。每次失败对应的概率为 $q = 1 - p$，每次成功对应的概率为 $p$。于是，

均值和方差为

以及

更一般地，负二项分布是直到第 k 次成功为止所需试验次数的分布，其中 $k = 1 , 2 , \ldots$。若 Y 服从参数为 p 和 k 的负二项分布，则 Y 的分布为

因为我们可以把负二项随机变量 Y 看作 k 个相互独立的几何随机变量之和，所以很容易看出 $E ( Y ) = k / p$ 和 $V ( X ) = k q / p^{2}$。

例 11

装配好的喷墨打印机中有 40% 在检验工位被拒收。求所检验的第三台喷墨打印机是第一台合格品的概率。把每次检验看作一次伯努利试验，其中 $q = 0 . 4$、$p = 0 . 6$，则

因此，从任意起始点算起，第一台合格打印机恰好是第三台的情形只占大约 10%。要确定所检验的第三台打印机是第二台合格品的概率，则使用负二项分布式 (18)：

3.4 泊松分布

泊松分布能很好地描述许多随机过程，而且数学上相当简单。泊松分布由 S. D. Poisson 于 1837 年在一本论述刑法与民法问题的著作中提出。（这本相当古老的著作名为 Recherches sur la probabilit´e des jugements en mati`ere criminelle et en mati`ere civile。显然，在概率论教授们代代相传的关于泊松分布起源的传闻并不属实。据说泊松分布最初是用来为普鲁士军队中因马蹄踢击而致死的情况建模的。）

泊松概率质量函数为

其中 α $> 0$。泊松分布的一项重要性质是均值与方差相等，均为 α，即

累积分布函数为

参数为 $\alpha = 2$ 的泊松分布，其 pmf 与 cdf 见图 7。cdf 的数值表见附录中的表 A.4。

图 7 泊松分布的 pmf 与 cdf。

例 12

每当有服务来电时，一位计算机修理人员就会收到一次"蜂鸣"提示。已知每小时的蜂鸣次数服从均值为每小时 $\alpha = 2$ 的泊松分布。下一小时内出现三次蜂鸣的概率由式 (19) 在 $x = 3$ 时给出：

同一结果也可以从图 7 的左侧读出，或从表 A.4 中由

算出。

例 13

在例 12 中，求 1 小时内出现两次或更多次蜂鸣的概率。

累积概率 $F ( 1 )$ 可以从图 7 的右侧读出，或从表 A.4 中查得。

例 14

库存系统中的提前期需求，是某项物品从下单时刻起直至收到订单为止这段时间内需求量的累积，即

其中 $L$ 是提前期需求，$D_{i}$ 是第 i 个时段内的需求，T 是提前期内的时间段数。$D_{i}$ 和 $T$ 都可以是随机变量。

库存管理者希望提前期内发生缺货的概率不超过某个给定比例。例如，可以规定提前期内出现短缺的概率不超过 5%。

如果提前期需求服从泊松分布，再订货点的确定就大大简化了。再订货点是下达新订单时的库存水平。

设提前期需求服从均值为 $\alpha = 10$ 件的泊松分布，并希望获得 95% 的防缺货保护。因此，需要找出这样的最小 x，使得提前期需求不超过 x 的概率大于或等于 0.95。利用式 (20)，需要找出满足下式的最小 x：

所求结果在 $x = 15$ 处取得，可以通过查表 A.4 或计算 $p ( 0 ) , p ( 1 )$ 得到。

4 连续分布

连续随机变量用于描述这样一类随机现象：所关注的变量可以在某个区间内取任意值——例如故障时间或杆件的长度。以下各小节描述九个分布。

4.1 均匀分布

如果随机变量 X 的 pdf 为下式，则称 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分布：

其 cdf 为

图 8 均匀分布的 pdf 与 cdf。

注意，对于所有满足 $a \leq x_{1} < x_{2} \leq b$ 的 $x_{1}$ 和 $x_{2}$，

与区间的长度成正比。该分布的均值和方差为

以及

当 $a = 1$ 和 $b = 6$ 时的 pdf 与 cdf 见图 8。

均匀分布在仿真中起着至关重要的作用。在 0 与 1 之间均匀分布的随机数，为生成随机事件提供了手段。已经设计出许多生成均匀分布随机数的方法。随后，均匀分布的随机数被用于从所有其他分布中生成随机变量样本。

例 15

正在开发一项仓库作业的仿真。大约每 3 分钟就会有一个电话，要求叉车司机开到某个指定位置。最初作出的假设是：电话之间的时间（到达间隔时间）服从均值为 3 分钟的均匀分布。由式 (25)，均值为 3 且具有最大可能变异性的均匀分布，其参数值为 $a = 0$ 和 $b = 6$ 分钟。在数据非常有限（例如只知道均值约为 3 分钟）的情况下，再加上知道所关注的量以随机方式变化，至少在获得更多数据之前，可以假定采用具有最大方差的均匀分布。

例 16

一辆公共汽车从上午 6:40 开始到上午 8:40，每隔 20 分钟到达某个指定站点。某位乘客不了解时刻表，但每天早晨在上午 7:00 到 7:30 之间随机（均匀分布）到达。求该乘客等待公交超过 5 分钟的概率。

只有当到达时刻在上午 7:00 到 7:15 之间，或在上午 7:20 到 7:30 之间时，该乘客才需等待 5 分钟以上。若 X 是表示乘客在上午 7:00 之后多少分钟到达的随机变量，则所求概率为

现在，X 是在 (0, 30) 上均匀分布的随机变量。因此所求概率为

4.2 指数分布

如果随机变量 X 的 pdf 为下式，其中 $\lambda > 0$，则称 X 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布：

密度函数见图 9 和图 3。图 9 还给出了其 cdf。

当到达完全随机时，指数分布已被用于对到达间隔时间建模；它也被用于对变异很大的服务时间建模。在这些场合中，λ 是一个速率：每小时到达数或每分钟服务数。指数分布还已被用于对发生灾难性（瞬间）故障的部件寿命建模，例如灯泡；此时 λ 是故障率。

图 10 给出了若干不同的指数 pdf。纵轴上的截距值总是等于 λ 的值。还要注意，所有 pdf 最终都会相交。（为什么？）

图 9 指数密度函数与累积分布函数。

图 10 若干指数分布的 pdf。

指数分布的均值和方差为

因此，均值与标准差相等。对式 (26) 积分即得 cdf：

例 17

假设一盏工业灯的寿命（以千小时计）服从故障率为 $\lambda = 1 / 3$ 的指数分布（即平均每 3000 小时故障一次）。该灯寿命长于其平均寿命 3000 小时的概率由 $P ( X > 3 ) = 1 - P ( X \le 3 ) = 1 - F ( 3 )$ 给出。利用式 (28) 计算 F(3)，得

无论 $\lambda$ 取何值，这一结果总是相同的！也就是说，指数随机变量大于其均值的概率对 $\lambda$ 的任意取值都是 0.368。工业灯寿命在 2000 小时到 3000 小时之间的概率计算如下：

同样由式 (28) 给出的 cdf，

指数分布最重要的性质之一是它具有"无记忆性"，即对所有 $s \geq 0$ 和 $t \geq 0$，

设 X 表示某个部件（一节电池、一个灯泡、一片计算机芯片、一台激光器等）的寿命，并假定 X 服从指数分布。式 (29) 表明：已知该部件已存活 s 小时的条件下，它至少再存活 $s + t$ 小时的概率，与它最初至少存活 t 小时的概率相同。如果该部件在时刻 s 仍然存活（即 $X > s$），那么其剩余存活时间 $X - s$ 的分布与全新部件的原分布相同。也就是说，该部件并不"记得"它已经使用了 s 小时。用过的部件与新的一样好。

式 (29) 成立，可以通过考察条件概率来证明：

利用式 (28) 可以求出式 (30) 的分子和分母，从而得到

例 18

求例 17 中的工业灯在运行了 2500 小时之后还能再使用 1000 小时的概率。利用式 (29) 和式 (28) 可以求得：

例 18 说明了无记忆性质——即服从指数分布的用过的部件与新部件一样好。一个全新部件寿命大于 1000 小时的概率同样等于 0.717。一般地说，假设观测到某个寿命服从参数为 λ 的指数分布的部件，并发现在任意时刻它仍在运行，那么其剩余寿命的分布也是参数为 λ 的指数分布。指数分布是唯一具有无记忆性的连续分布。（几何分布是唯一具有无记忆性的离散分布。）

4.3 伽马分布

用于定义伽马分布的函数之一是伽马函数，它对所有 $\beta > 0$ 定义为

对式 (31) 分部积分，可以证明

如果 $\beta$ 是整数，那么利用 $\Gamma ( 1 ) = 1$ 并反复应用式 (32)，可以看出

伽马函数可以看作是把阶乘概念推广到所有正数（而不仅仅是整数）上。

如果随机变量 X 的 pdf 为下式，则称 X 服从参数为 $\beta$ 和 θ 的伽马分布：

$\beta$ 称为形状参数，θ 称为尺度参数。图 11 给出了 $\theta = 1$ 且 $\beta$ 取若干值时的伽马分布。

伽马分布的均值和方差为

以及

X 的 cdf 为

图 11 θ = 1 时若干伽马分布的 pdf。

当 $\beta$ 是整数时，伽马分布与指数分布有如下关系：如果随机变量 X 是 $\beta$ 个相互独立、服从指数分布的随机变量之和，且每个的参数均为 $\beta \theta$，则 X 服从参数为 $\beta$ 和 θ 的伽马分布。即

其中 $X_{j}$ 的 pdf 为

并且各 $X_{j}$ 相互独立，则 X 具有式 (34) 所给的 pdf。注意，当 $\beta = 1$ 时，结果是指数分布。这一结论既可由式 (38) 得出，也可由在式 (34) 中令 $\beta = 1$ 得出。

4.4 厄兰分布

当 $\beta = k$（k 为整数）时，式 (34) 所给的 pdf 通常称为 k 阶（或 k 相）厄兰分布。Erlang 是丹麦的一位电话工程师，是排队理论的早期开发者之一。厄兰分布可能出现于如下情境：考虑一串 k 个工位，完成一位顾客的服务必须依次通过这些工位。在正在处理的顾客通过所有工位之前，新的顾客不能进入第一个工位。每个工位的服务时间都服从参数为 kθ 的指数分布。给出伽马分布均值和方差的式 (35) 和式 (36)，无论 $\beta$ 取何值都成立。然而，当 $\beta = k$（k 为整数）时，可以相当直接地用式 (38) 推导出该分布的均值。随机变量之和的期望值等于各随机变量期望值之和。因此，

每个服从指数分布的 $X_{j}$ 的期望值为 $1 / k \theta$。因此，

如果各随机变量 $X_{j}$ 相互独立，则它们之和的方差等于各方差之和，即

当 $\beta = k$（k 为正整数）时，式 (37) 所给的 cdf 可以用分部积分求出，得到

它是均值为 $\alpha = k \theta x$ 的泊松项之和。当形状参数为整数时，可以用泊松累积分布表来计算 cdf。

例 19

某大学电气工程专业的教授暑假要离开家，但他希望始终有一盏灯亮着以吓退窃贼。教授装配了一个可装两个灯泡的装置。当第一个灯泡失效时，该装置会把电流切换到第二个灯泡上。灯泡包装盒上写着：“平均寿命 1000 小时，服从指数分布。“教授将外出 90 天（2160 小时）。问夏季结束、教授返回时仍有一盏灯亮着的概率是多少？

系统至少工作 x 小时的概率称为可靠度函数（reliability function）$R ( x )$：

本例中，整个系统的总寿命由式 (38) 给出，其中 $\beta = k = 2$ 个灯泡，且 $k \theta = 1 / 1000$ 每小时，故 $\theta = 1 / 2000$ 每小时。于是 $F ( 2160 )$ 可由式 (39) 求得：

因此，教授返回时仍有一盏灯亮着的概率约为 36%。

例 20

一位医生给病人做体检，共分三个阶段。每个阶段都服从均值为 20 分钟的指数分布。求体检在 50 分钟或以内完成的概率。同时，计算体检时间的期望长度。本例中，$k = 3$ 个阶段，$k \theta = 1 / 20$，故 $\theta = 1 / 60$ 每分钟。于是 $F ( 50 )$ 可由式 (39) 计算：

利用表 A.4 所示的泊松累积分布，可以计算出

体检在 50 分钟或以内完成的概率为 0.457。体检时间的期望长度由式 (35) 求得：

此外，X 的方差为 $V ( X ) = 1 / \beta \theta^{2} = 1200$ 分钟²——顺便提一下，厄兰分布的众数由下式给出：

因此，本例中的众数值为

4.5 正态分布

具有均值 $- \infty < \mu < \infty$ 和方差 $\sigma^{2} > 0$ 的随机变量 X，若其 pdf 为

则称 X 服从正态分布。

图 12 正态分布的 pdf。

正态分布使用得如此频繁，以至于许多作者采用记号 $X \sim N ( \mu , \sigma^{2} )$ 来表示随机变量 X 服从均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^{2}$ 的正态分布。正态 pdf 见图 12。

这里列出正态分布的若干特殊性质：

a. $\lim _ {x \longrightarrow - \infty} f ( x ) = 0$ 且 $\lim _ {x \longrightarrow \infty} f ( x ) = 0$；即当 x 趋近负无穷时 f(x) 的值趋近于零，同样地，当 x 趋近正无穷时也趋近于零。

b. $f ( \mu - x ) = f ( \mu + x )$；该 pdf 关于 $\mu$ 对称。

c. pdf 的最大值出现在 $x = \mu$ 处；均值与众数相等。

正态分布的 cdf 为

式 (42) 无法用闭式求值。可以采用数值方法，但似乎必须对每一对 $( \mu , \sigma^{2} )$ 都重新计算该积分。不过，通过变量变换 $z = ( t - \mu ) / \sigma$，可以使其求值与 $\mu$ 和 $\sigma$ 无关。若 $X \sim N ( \mu , \sigma^{2} )$，令 $Z = ( X - \mu ) / \sigma$，则得到

图 13 标准正态分布的 pdf。

pdf

是均值为 0、方差为 1 的正态分布的 pdf。于是 $Z \sim N ( 0 , 1 )$，称 $Z$ 服从标准正态分布。标准正态分布见图 13。标准正态分布的 cdf 为

式 (45) 已被广泛地制成数值表。$z \geq 0$ 时的概率 $\Phi ( z )$ 见表 A.3。下面给出若干例子，说明式 (43) 和表 A.3 的用法。

例 21

假设已知 $X \sim N ( 50 , 9 )$。计算 $F ( 56 ) = P ( X \leq 56 )$。利用式 (43)，由表 A.3 得

其直观解释见图 14。图 14(a) 给出了 $X \sim N ( 50 , 9 )$ 的 pdf，并标出了具体的值 $x_{0} = 56$。阴影部分就是所求概率。图 14(b) 给出了标准正态分布 $Z \sim N ( 0 , 1 )$ 并标出了值 2；$x_{0} = 56$ 比均值大 2σ（其中 $\sigma = 3$）。像图 14 那样把两种示意图都画出来，有助于避免在求取所需概率时产生混淆。

图 14 变换到标准正态分布。

例 22

装载一艘远洋船舶所需的时间（以小时计）X 服从 $N ( 12 , 4 )$ 分布。船舶在 10 小时内完成装载的概率由 $F ( 10 )$ 给出，其中

利用正态分布的对称性，可在表 A.3 中查得 $\Phi ( - 1 ) = 0 . 1587$。注意 $\Phi ( 1 ) = 0 . 8413$。0.8413 的补数，即 0.1587，位于尾部，也就是图 15(a) 所示标准正态分布的阴影部分。在图 15(b) 中，利用对称性求出阴影区域为 $\Phi ( - 1 ) = 1 - \Phi ( 1 ) = 0 . 1587$。[按同样的推理，可以看出 $\Phi ( 2 ) = 0 . 9772$，而 $\Phi ( - 2 ) = 1 - \Phi ( 2 ) = 0 . 0228$。一般地，$\Phi ( - x ) = 1 - \Phi ( x )$。] 需要 12 小时或更多时间才能装完船的概率，也可以像图 16 那样通过观察正态 pdf 的对称性并利用均值直接求得。图 16(a) 的阴影部分表示最初提出的问题［即求 $P ( X < 12 )$］。现在，$P ( X \ > \ 12 ) \ = \ 1 - F ( 12 )$。图 16(b) 中的标准化正态分布用于求取 $F ( 12 ) = \Phi ( 0 ) = 0 . 50$。因此，$P ( X \ > \ 12 ) \ = \ 1 - 0 . 50 \ = \ 0 . 50$。（图 16(a) 和 (b) 中的阴影部分都包含正态 pdf 下面积的 0.50。）

图 15 利用正态分布的对称性。

图 16 通过观察求概率。

图 17 船舶装载问题的标准正态变换。

装载一条船所需时间在 10 小时到 12 小时之间的概率，利用本例前面给出的结果：

所求面积显示在图 17(a) 的阴影部分。以标准化正态分布表示的等价问题见图 17(b)。概率式为 $F ( 12 ) - F ( 10 ) = \Phi ( 0 ) - \Phi ( - 1 ) = 0 . 5000 - 0 . 1587 =$ 0.3413，数值由表 A.3 查得。

例 23

在某自助餐厅排队后开始自助服务所需的时间被发现服从 $N ( 15 , 9 )$ 分布。到达顾客等待 14 分钟到 17 分钟之间的概率计算如下：

图 18(a) 中所示的阴影面积表示概率 $F ( 17 ) - F ( 14 )$。图 18(b) 中所示的阴影面积表示标准化正态分布下的等价概率 $\Phi ( 0 . 667 ) \mathrm{~ - ~} \Phi ( - 0 . 333 )$。由表 A.3，$\Phi ( 0 . 667 ) \mathrm{~ = ~} 0 . 7476$。现在，$\Phi ( - 0 . 333 ) = 1 - \Phi ( 0 . 333 ) = 1 - 0 . 6304 = 0 . 3696$。因此，$( 0 . 667 ) - \Phi ( - 0 . 333 ) = 0 . 3780$。顾客在 14 分钟到 17 分钟之间通过队列的概率为 0.3780。

图 18 自助餐厅问题的标准正态变换。

例 24

某项物品的提前期需求 X 近似服从均值为 25、方差为 9 的正态分布。希望计算提前期数值，使得超出该值的概率仅为 5%。因此，问题就是求 $x_{0}$ 使得 $P ( X > x_{0} ) = 0 . 05$，如图 19(a) 的阴影部分所示。等价的问题见图 19(b) 的阴影部分。现在，

或者等价地，

由表 A.3 可以看出 (1.645) 对应 0.95。于是，$x_{0}$ 可由求解

得到

因此，如果当库存水平降到 30 时发出采购订单，则提前期内需求超出可用库存的情形仅占 5%。

图 19 求提前期需求问题中的 $x_{0}$。

4.6 Weibull 分布

如果随机变量 X 的 pdf 具有下述形式，则称 X 服从 Weibull 分布：

Weibull 分布的三个参数为：ν$( - \infty < \nu < \infty )$，即位置参数；α$( \alpha > 0 )$，即尺度参数；以及 $\beta \left( \beta > 0 \right)$，即形状参数。当 $\nu = 0$ 时，Weibull pdf 化为

图 20 ν = 0；α = 1；β = 1/2, 1, 2, 4 时的 Weibull pdf。

图 20 给出了 $\nu = 0$ 且 $\alpha = 1$ 时的若干 Weibull 密度。当 $\beta = 1$ 时，Weibull 分布退化为

这就是参数为 $\lambda = 1 / \alpha$ 的指数分布。Weibull 分布的均值和方差由下列式子给出：

其中 $\Gamma ( \cdot )$ 由式 (31) 定义。因此，位置参数 ν 对方差没有影响；不过均值会随 ν 的增大或减小而增大或减小。Weibull 分布的 cdf 为